游戏中的点

游戏中的点

点是N维空间（游戏中主要是二维和三维空间）中的一个位置，它没有大小，宽度这类概念。

在笛卡尔坐标系中，我们可以这样表示一个点。

一维空间的点如：P=(Px)

一维空间是指只由一条线内的点所组成的空间，它只有长度，没有宽度和高度，只能向两边无限延展。一维实际是指的是一条线，一维空间的点的坐标仅需一个数来表示，且原点左边的点坐标为负数，原点右边的点坐标为正数。

二维空间中的点如：P=(Px, Py)

二维空间是指由两个正交的数轴和其中的点组成的空间，有长度和宽度，没有高度。如下图所示，以第一象限的一个点为例，点到X周的距离为442，即点坐标的纵坐标为442,；点到Y轴的距离为238，即点坐标的横坐标为238。则图2中点的坐标为（238,442）。

三维空间中的点如：P=(Px, Py, Pz)

三维空间是由三个两两正交的数轴和其中的点所组成的空间，有长度、宽度和高度。如下图所示，以点B为例，点B到W面的距离为X坐标，到V面的距离为Y坐标，到H面的距离为Z坐标。用三个坐标确定点B，可标记为B（X，Y，Z）。点的每个投影反映两个坐标，即正面投影b'反映X、Z坐标；水平投影b反映X 、Y坐标；侧面投影b"反映Y、Z坐标。

N维空间中的点如：P=(Px, Py, Pz.....)

N维空间是由n个两两正交的数轴和其中的点所组成的空间，其中的点的坐标的表达形式为A（X1,X2,…,Xn），其中Xi为点A到第i个坐标轴的有向线段的数值表示。

向量介绍

向量最基本的定义就是一个方向，或者更正式的说，向量有一个方向(Direction)和大小(Magnitude，也叫做强度或长度)。你可以把向量想像成一个藏宝图上的指示：“向左走10步，向北走3步，然后向右走5步”；“左”就是方向，“10步”就是向量的长度。那么这个藏宝图的指示一共有3个向量。向量可以在任意维度(Dimension)上，但是我们通常只使用2至4维。如果一个向量有2个维度，它表示一个平面的方向(想象一下2D的图像)，当它有3个维度的时候它可以表达一个3D世界的方向。

下面你会看到3个向量，每个向量在2D图像中都用一个箭头(x, y)表示，我们在2D图片中展示这些向量，因为这样子会更直观一点。你可以把这些2D向量当做z坐标为0的3D向量。由于向量表示的是方向，起始于何处并不会改变它的值，下图我们可以看到向量vˉ和wˉ是相等的，尽管他们的起始点不同：

数学家喜欢在字母上面加一横表示向量，比如说vˉ。当用在公式中时它们通常是这样的：

由于向量是一个方向，所以有些时候会很难形象地将它们用位置(Position)表示出来。为了让其更为直观，我们通常设定这个方向的原点为(0, 0, 0)，然后指向一个方向，对应一个点，使其变为位置向量(Position Vector)（你也可以把起点设置为其他的点，然后说：这个向量从这个点起始指向另一个点）。比如说位置向量(3, 5)在图像中的起点会是(0, 0)，并会指向(3, 5)。我们可以使用向量在2D或3D空间中表示方向与位置。

向量几何定义

从几何意义上说，向量是有大小和方向的有向线段（并不包括起始位置）。

位置与位移

1、向量没有位置，只有大小和方向，例如，“向前走三步”，“以50英里每小时的速度向北行驶”。

2、因为向量能描述事物间的位移和相对差异，所以它能用来描述相对位置。

3、因为向量是没有位置的，所以能在图中的任何地方表示，只要方向和长度的表示正确即可。可以利用向量这个优点，将向量平移到图中更有用的点。

用一系列数（数组）表示向量

1、向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移。例如，2D 向量 [x,y] 列出的是沿 x 坐标方向和 y 坐标方向的位移。

向量定义中并没有体现其位置，也即只要两个向量的大小相等，方向相同，不管他们两个头尾位置是否相同，都可以看做是同一个向量。同时要牢记：向量没有绝对位置，其可以在坐标系中任意平移，决定向量的两要素大小与方向，位置只是表示向量头尾的一个形式，并不是向量本身的属性。

用一系列位移表示向量

1、为了理解向量所代表的位移，可以将向量分解成与轴平行的分量，把这些分量的位移组合起来，就得到了向量作为整体所代表的位移。例如，3D 向量 [1,-3,4] 表示的一个单一的位移，可以分解为向右平移一个单元，向下平移3个单元，向前平移4个单元（假设 +x，+y，+z 轴分别向右，向上，向前）。

2、这些步骤的执行顺序无关紧要，不同的顺序对应着向量轴对齐包围盒上的不同路径。

向量的位移理解：可以将向量整个代表的位移分解到各个坐标轴，即一个人位移了（1,2,1），可以看做其沿x轴正方向走了一单位，y轴正方形走了两个单位，z轴正方向走了一格单位，最后的位移效果与此向量表示的唯一效果一致，即可以看做向量表示为位移序列。序列中每一个方向之间无先后顺序。

向量与标量

向量、标量是线性代数中非常重要的概念，它们是描述向量及其运算规律的基本概念。

标量：

标量是一个表示大小的数字，一般用普通小写字母表示，如 a。

标量是一个单独的数，例如实数或复数，在向量空间中，标量用于描述向量的缩放因子，例如将一个向量放大或缩小到特定的尺寸。

向量：

一个同时具有大小与方向的几何对象，如 【a, b】，一般用粗体的小写字母表示，如x。

向量是有大小和方向的量，在向量空间中，向量通常由一组有序的数对或数组表示，这些数对或数组的值表示向量在各个方向上的分量。向量可以进行加法和乘法运算，例如向量的数量积和向量的叉积等。

向量又分为行向量与列向量。

向量空间

向量空间表示一整个空间的向量，但不是任意向量的集合都能被称为向量空间，向量空间必须满足一定规则：该空间对空间内向量的线性组合（相加，数乘）封闭。也就是说如果一个向量集合所组成的空间满足两种操作（数乘、相加），且通过这两种操作及他们之间的线性组合后的向量，仍然在这个集合所形成的空间中，那么我们就称它为向量空间。

比如：v，w为向量空间内的向量，则向量3v 或 v+w 都仍然在此空间中，那么这个空间可称为向量空间。

比如(所有的二维实向量)就是一个向量空间： ，  ， 均在R^2向量空间中，对这3个2维向量进行线性组合，得到的向量仍在 向量空间中，反映在图像上：

很明显，的向量空间可以构成一个平面，这个向量空间存在的关键在于上图中平面上任何向量都在的向量空间中。尤其是0向量，它存在于所有向量空间中。

同样，可以通过到三维向量空间，n 维向量空间上，再举两个不是向量空间的例子：

在上面图中，我们可以看到当我们尝试用-1和其中某个向量（除零向量）相乘时，其所得的向量一定不在第一象限中。可见，不满足数乘运算，所以，不是向量空间。

上图中是 中不含有0向量，那么当我们取一个向量和一个向量的反向向量相加时所得到的零向量也不在其内部，可见，不满足相加运算，故其也不是向量空间。

向量的维数

向量维数是表示向量有多少个分量，如（a，b，c）这就是一个三维向量，在数学中，向量（也称为欧几里得向量，几何向量，矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段：

箭头所指：代表向量的方向

线段长度：代表向量的大小

与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量）。

什么是向量维数

向量维数指的是这组向量的最大线性无关组的个数。

比如 a1=(1，0，0)，a1=(0，1，0)，a3=(0，0，1)，则a1，a2，a3的维数是3。

向量的维数指的是这个向量含几个分量，比如b=(x1，x2，x3，x4)的维数就是4。

向量维数是列，因为向量的坐标只有一行，列数表示它的维数，例如（a，b，c)这就是一个三维向量，在数学中，向量（也称为欧几里得向量，几何向量，矢量），指具有大小和方向的量。

向量空间的维数的求法如下

向量组只有两个向量，且此两个向量线性无关，所以生成的子空间的维数是2，向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。

在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。

譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的，单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。

向量（vector, 也称为矢量）与点

使用 “点” 和 “向量” 的目的完全不同，“点” 描述位置，而 “向量” 描述位移。

下图坐标展示一个点的位置，右图展示一个向量，可以看到点和向量之间有某种联系

相对位置

上面说到，向量能够描述相对位置，而相对位置：某个物体的位置，通过描述它与已知点之间的相对关系来指明。那么在描述一个点的位置时，总是要描述它和其他一些点的关系，任何对于位置的描述只有在一定参考系内才有意义。

点和向量的关系

如下图所见，点和向量的关系可以描述为：从原点开始，按向量 [x,y] 所代表的位移移动，总是会到达点（x，y）所代表的位置。也可以说，向量 [x,y] 描述了原点到点（x，y）的位移量。

点和向量在概念是不同的，但在数学上是等价的。思考位置时，想象一个点，思考位移时，想象一个向量和箭头。