Python函数递归

一个函数在它的函数体内调用它自身称为递归调用，这种函数称为递归函数。执行递归函数将反复调用其自身，每调用一次就进入新的一层，当最内层的函数执行完毕后，再一层一层地由里到外退出。

递归函数不是 Python 语言的专利，C/C++、Java、C#、JavaScript、PHP 等其他编程语言也都支持递归函数。

下面我们通过一个实例，看看递归函数到底是如何运作的。

有这样一个数学题。己知有一个数列：f(0) = 1，f(1) = 4，f(n + 2) = 2*f(n+ 1) +f(n)，其中 n 是大于 0 的整数，求 f(10) 的值。这道题可以使用递归来求得。下面程序将定义一个 fn() 函数，用于计算 f(10) 的值：

def fn(n) :
    if n == 0 :
        return 1
    elif n == 1 :
        return 4
    else :
        # 函数中调用它自身，就是函数递归
        return 2 * fn(n - 1) + fn(n - 2)
# 输出fn(10)的结果
print("fn(10)的结果是:", fn(10))

在上面的 fn() 函数体中再次调用了 fn() 函数，这就是函数递归。注意在 fn() 函数体中调用 fn 的形式：

return 2 * fn(n - 1) + fn(n - 2)

对于 fn(10)，即等于 2*fn(9)+fn(8)，其中 fn(9) 又等于 2*fn(8)+fn(7)……依此类推，最终会计算到 fn(2) 等于 2*fn(1)+fn(0)，即 fn(2) 是可计算的，这样递归带来的隐式循环就有结束的时候，然后一路反算回去，最后就可以得到 fn(10) 的值。

仔细看上面递归的过程，当一个函数不断地调用它自身时，必须在某个时刻函数的返回值是确定的，即不再调用它自身：否则，这种递归就变成了无穷递归，类似于死循环。因此，在定义递归函数时有一条最重要的规定： 递归一定要向已知方向进行。

例如，如果把上面数学题改为如此。己知有一个数列：f(20)=1，f(21)=4，f(n + 2)=2*f(n+1)+f(n)，其中 n 是大于 0 的整数，求 f(10) 的值。那么 f(10) 的函数体应该改为如下形式：

def fn(n) :
    if n == 20 :
        return 1
    elif n == 21 :
        return 4
    else :
        # 函数中调用它自身，就是函数递归
        return fn(n + 2) - 2*fn(n + 1)

从上面的 fn() 函数来看，当程序要计算 fn(10) 的值时，fn(10) 等于 fn(12)-2*fn(11)，而 fn(11) 等于 fn(13)-2*fn(12)……依此类推，直到 fn(19) 等于 fn(21)-2*fn(20)，此时就可以得到 fn(19) 的值，然后依次反算到 fn(10) 的值。这就是递归的重要规则：对于求 fn(10) 而言，如果 fn(0) 和 fn(1) 是已知的，则应该采用 fn(n)=2*fn(n-1)+fn(n-2) 的形式递归，因为小的一端已知；如果 fn(20) 和 fn(21) 是已知的，则应该采用 fn(n)=fn(n+2)-2*fn(n+1) 的形式递归，因为大的一端已知。

递归是非常有用的，例如程序希望遍历某个路径下的所有文件，但这个路径下的文件夹的深度是未知的，那么就可以使用递归来实现这个需求。系统可定义一个函数，该函数接收一个文件路径作为参数，该函数可遍历出当前路径下的所有文件和文件路径，即在该函数的函数体中再次调用函数自身来处理该路径下的所有文件路径。

总之，只要在一个函数的函数体中调用了函数自身，就是函数递归。递归一定要向已知方向进行。